Page 661 - Capire la matematica

Una variabile casuale (v.c.) è una variabile che può assumere valori diversi detti deter-
minazioni della v.c., in dipendenza o meno del verificarsi di eventi aleatori.

Una v.c. è una funzione dello spazio Ω che associa a ciascun evento Ei ⊂ Ω un valore
reale x, e che trasforma lo spazio campione in un insieme di numeri reali.

Se la v.c. opera in un intervallo reale, si dice continua, mentre se assume valori in un
insieme discreto (finito o numerabile) di reali si dice discreta.

Se X v.c. discreta in Ω, la funzione di probabilità della v. c. associa a ciascuno dei valori
possibili x1, x2, ... della v.c. X la corrispondente probabilità P1, P2, … ossia ∑ ∞ = 1.

=1

Una v.c. continua in X è definita F(x) = Pr(−∞ ≤ ≤ ) = ∫ () in cui F(x) è la
−∞
funzione ripartizione e f(x) è la funzione di densità di probabilità della v.c. F(x) = Pr(X ≤

) = ∫ () e f(x) = F(x).
−∞
La funzione f(x) è tale che la probabilità che la v.c. continua X assuma valori in un inter-

vallo è misurata dall’area sottesa dalla funzione di densità nell’intervallo considerato.

Abbiamo che lim () = 0 lim () = 1.
→−∞ →+∞

Il valore medio di una v.c. continua X che assume valori in [a,b] è dato da E(x) =

∫ () dove f(x) è la funzione densità della v.c. X.

La varianza di una v.c. X è il valore medio dei quadrati degli scarti al valore medio V(x)
2
2
o . V(x) = E(X - ) .
2
Per una v.c. discreta X V(x) = ∑ ( − ) pi; mentre per una v.c. continua X che assume

=1
∞
2
valori in [a,b], invece è V(x) = ∫ ( − ) f(x)dx.
−∞
Variabile casuale binomiale: supponiamo di avere un’urna con palline bianche pari a p <
1 e palline nere pari a q = 1-p.

Si estraggono a caso n palline dall’urna con ripetizione, cioè reinserendo ogni volta le

palline estratte. La v.c. Binomiale è la v.c. “Numero di successi in n sotto prove indipen-
denti e identiche”, in ciascuna delle quali è costante la probabilità p di un successo e la
probabilità q di un insuccesso.

Nell’ipotesi fatta la v.c. rappresenta il “Numero di palline bianche” ottenute dalle n
estrazioni.

−
La probabilità che la v.c. X assuma valore x è pari a: Pr(X = x) = ( ) , per x = 0, 1,

2, ..., n. Essa ha valore medio e varianza pari a : E(X) = np e V(X) = np(1 - p).
1
Esempio 1. Data una v.c. Binomiale Bin(10, ) calcoliamo il suo valore medio.
2
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