Page 225 - Capire la matematica

Questo vuol dire che ad un elemento qualsiasi di A può essere associato uno o più ele-
menti di B (aℛb).

Relazione di Equivalenza

Una relazione ℛ tra coppie ordinate di elementi di U si dice Relazione di Equivalenza se
gode delle seguenti proprietà:

1) aℛ ∀a∈ proprietà Riflessiva;

2) aℛb e bℛc => aℛc proprietà Transitiva.

3) ∀, ∈ aℛ => bℛ proprietà simmetrica.

Il sottoinsieme di U costituito dagli elementi che sono equivalenti ad a si dice Classe di

Equivalenza rispetto ℛ di a e si indica [a].

L’insieme di tutte le classi di equivalenza si dice insieme quoziente di U rispetto a ℛ
(U/ℛ).

Le classi di equivalenza godono delle seguenti proprietà:

1) Ogni classe è non vuota;

2) Se due classi sono diverse [a]≠[a’] => [a]∩[a’]=∅;

3) Ogni a∈U appartiene ad una ed una sola classe di equivalenza.

Approfondimento: Congruenza modulo n.
La relazione di congruenza modulo n è una relazione di equivalenza su Z. Le classi di
equivalenza sono dette le classi di congruenza modulo n o anche classi di resto modulo

n. L’insieme delle classi di congruenza modulo n `e denotato con Zn.

Teorema: Due interi sono congruenti modulo n se e solo se divisi per n danno lo stesso

resto.

Teorema: L’equazione ax = b ha soluzioni in Zn se e solo se (a, n) divide b.

Esempio: L’equazione 6x = 5 non ha soluzioni in Z4 in quanto (6; 4) = 2 non divide 5.

Esercizio: L’equazione 12x = 15 in Z39 ha soluzioni perché 3 = (12, 39) divide 15.

Soluzione: Per determinarle si risolve l’equazione 12x + 39y = 15 in Z che dà soluzione
generale (-15 + 13k; 5 - 4k), ∀ ∈ . Allora x1 = -15 + 13k; ∀ ∈ , è la soluzione generale

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