Page 729 - Capire la matematica

Problemi Vari

Problemi di Massimo e Minimo. Una volta scelte le variabili e definita la funzione da mas-
simizzare, si parte ponendo uguale a zero la derivata prima, e poi si adottano i criteri

studiati nel libro.

Problema 1: Un contadino vuole delimitare un giardino rettangolare che fiancheggia un
lato della stalla con uno steccato lungo 200 metri.

Calcolare l’area massima del giardino.

Il trucco del problema consiste nel fatto che non c’è bisogno di recingere il lato che fian-
cheggia la stalla.

Indicata con y la lunghezza della stalla e con x l’altro lato del giardino, l’area sarà data

da

A = xy

Poiché vi sono due incognite, avrei bisogno di un’altra relazione:

2x + y = 200

2
da cui ricavo y = 200 - 2x che sostituisco nell’area A = x(200 -2x) = 200x - 2x
Derivando questa funzione di x otteniamo

A' = 200 - 4x = 0 x=50 y = 200 - 2x = 100

Per verificare che x = 50 sia davvero punto di massimo per l’area, dobbiamo guardare il
segno di A"(50). Poiché A’’ = - 4 < 0 per ogni x

il punto stazionario trovato è davvero di massimo. Pertanto l’area massima è di 5.000
2
m .

Problema 2: Un contadino vuole delimitare un terreno rettangolare di 800 metri qua-
drati, suddiviso in tre appezzamenti uguali.

A. Determinare le dimensioni del terreno in modo che
la recinzione abbia lunghezza minima.

B. Determinare le dimensioni del terreno in modo che

la recinzione abbia costo minimo, sapendo che quella esterna costa 4 volte quella in-
terna.

Soluzione: A. Sapendo che l’area è A= xy = 800 ricavo y = 800/x.

La recinzione complessiva è lunga

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